Bianchi.gp

Fiche logiciel validé
  • Création ou MAJ importante : 12/04/12
  • Correction mineure : 12/04/12
  • Rédacteur de la fiche : Alexander D. Rahm - Développeur du logiciel - Department of Mathematics (Weizmann Institute of Science)
  • Relecteur(s) : Nicolas M. Thiéry (Laboratoire de Mathématiques d'Orsay)
    Van Luyen Le (School of Mathematics, Statistics and Applied Mathematics)
  • Responsable thématique : Teresa Gomez-Diaz (LIGM)
Mots-clés
Pour aller plus loin

Bianchi.gp : calcul de domaine fondamental pour les groupes de Bianchi dans l'espace hyperbolique

Une fiche Dév Ens Sup est en relation avec cette fiche, consultez-la pour plus d'informations : Bianchi.gp
Description
Fonctionnalités générales

Ce programme effectue des calculs de la géométrie d’une certaine classe de groupes arithmétiques (les groupes de Bianchi), à travers une action propre sur un espace contractile. Nous accédons à leur homologie de groupe. Plus en détail, considérons un corps de nombres quadratique imaginaire Q(√−m), où m est un entier positif ne contenant pas de carré. Soit A(m) son anneau d’entiers. Les groupes de Bianchi sont les groupes SL_2(A(m)).

Un éventail d’informations sur les groupes de Bianchi peut être trouvé dans les monographies de Elstrodt/Grunewald/Mennicke, Benjamin Fine, Maclachlan/Reid, etc. Ces groupes agissent d’une manière naturelle sur l’espace hyperbolique à trois dimensions, qui est isomorphe à l’espace symétrique qui leur est associé. Le noyau de cette action est le centre {±1} des groupes, ce qui rend utile l’étude du quotient par le centre, PSL_2(A(m)), que nous appellerons également un groupe de Bianchi.

En 1892, Luigi Bianchi a calculé des domaines fondamentaux pour cette action pour quelques uns de ces groupes. Un tel domaine fondamental est de la forme d’un polyèdre hyperbolique (à quelques sommets manquants près), que nous appelons le polyèdre fondamental de Bianchi. Le calcul du polyèdre fondamental de Bianchi a été implémenté dans ce programme pour tous les groupes de Bianchi.

Les images sous SL_2(A(m)) des faces de ce polyèdre munissent l’espace hyperbolique d’une structure cellulaire.
Pour mieux observer la géométrie locale, nous passons au complexe cellulaire raffiné, que nous obtenons en subdivisant cette structure cellulaire jusqu’à ce que les stabilisateurs dans SL_2(A(m)) fixent les cellules point par point.
Nous pouvons exploiter ce complexe cellulaire de différentes manières, afin de cerner des aspects différents de la géométrie de ces groupes.

Autres fonctionnalités

Si l'utilisateur le souhaite, il/elle peut écrire des scripts dans le langage GP de PARI pour effectuer des calculs ultérieurs sur la structure de complexe cellulaire que Bianchi.gp met dans la mémoire à accès rapide.
De tels scripts peuvent se servir des bibliothèques de fonctions et procédures de Bianchi.gp.

La calculette gp de PARI, dans laquelle Bianchi.gp peut être exécuté, met un environnement interactif à la disposition de l'utilisateur.

Interopérabilité

Utilisation avec Fiche Plume Pari/GP.

Contexte d'utilisation dans mon laboratoire/service

Au Department of Mathematics, National University of Ireland, Galway, une bibliothèque Homological Algebra Programming (HAP) a été développée pour des calculs en algèbre homologique. Elle est utilisée dans Fiche Plume GAP. Cette bibliothèque peut interpréter les complexes cellulaires construits avec Bianchi.gp et construire des résolutions pour les groupes de Bianchi qui agissent sur ces complexes ; plusieurs invariants comme par exemple l'homologie et la cohomologie du groupe peuvent être calculés ainsi.

Environnement du logiciel
Plates-formes

Ce programme est basé sur le système d'algèbre sur ordinateur Fiche Plume Pari/GP, qui est un logiciel libre.
Il faut installer la version 2.4.3 ou plus récent pour pouvoir utiliser Bianchi.gp.

Logiciels connexes
Environnement de développement
Type de structure associée au développement

Ce logiciel a été développé lors d'une thèse par l'auteur de cette fiche.

Références d'utilisateurs institutionnels

Le certificat de calcul intensif C3I a été attribué à la thèse ayant développé Bianchi.gp.
L'utilisation de Bianchi.gp est recommandée par Pari/GP development headquarters.

Environnement utilisateur
Contributions

Contacter l'auteur de la fiche.